\input{../preambules/preDM.tex}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\newcommand{\e}{e}
\usepackage{enumitem}

\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°7}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etude de fonctions, polynômes}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°7}
\end{center}


\section*{Exercice I}

{\it On donne les approximations suivantes qui vous serviront au cours de l'exercice :}
$$
\ln(2) \approx 0,69 \qquad \ln(3) \approx 1,10 \qquad  22\ln(2)-14 \approx 1,25  \qquad  22\ln(3)-23 \approx 1,17
$$
$$
\dfrac{1}{22\ln(2) - 14} \approx 0,80 \qquad \dfrac{1}{22 \ln(3) - 23} \approx 0,86
$$

\subsection*{Préliminaire : Polynôme et étude de signe}
Soit $P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 
\begin{enumerate}
\item On effectue
\begin{equation*}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
  \begin{array}{rrrrr|cr}
 &X^3 & -6X^2 & + 11X  &-6 & X-1 &  \\
\cline{6-7}
-&(X^3&- X^2) &   & & X^2 - 5X +6 &\\
\cline{1-3}
    &   & -5X^2 & +11X  & -6 &  \\
    & - &(-5X^2 & +5X) &  & \\
    \cline{3-4}
    &     & & 6X &  -6 &  \\
    &     &-&(6X& -6)  & \\
              \cline{4-5}
    &     &   & & 0  & \\
  \end{array}
\end{equation*} 
\item D'après la question précédente, $P(X) = (X-1)(X^2 - 5X + 6)$. On étudie alors le polynôme $X^2 - 5X + 6$. Son discriminant est $\Delta = 25 - 24 = 1$. On a alors deux racines
$$
X = \dfrac{5-1}{2} = 2 \quad {\rm et} \quad X = \dfrac{5+1}{2} = 3
$$
Le polynôme P se factorise alors 
\begin{center}
\fbox{$P(X) = (X-1)(X-2)(X-3)$.}
\end{center}
\item Premièrement, on a 
\begin{align*}
\dfrac{2 P(e^x)}{e^x} & = \dfrac{2(e^{3x} - 6e^{2x} + 11 e^x - 6)}{e^x} \\
\Longleftrightarrow \dfrac{2 P(e^x)}{e^x}  & = 2 \dfrac{e^{3x}}{e^x} - 12 \dfrac{e^{2x}}{e^x} + 22 \dfrac{e^x}{e^x} -  \dfrac{12}{e^x} \\
\Longleftrightarrow \dfrac{2 P(e^x)}{e^x} & = 2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}
\end{align*} 
Deuxièmement, en utilisant la forme factorisée du polynôme $P$, on a 
$$
\dfrac{2P(e^x)}{e^x} = \dfrac{2(e^x - 1)(e^x - 2)(e^x - 3)}{e^x}.
$$
On a donc l'égalité:
\begin{center}
\fbox{$
2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x} = \dfrac{2(e^x - 1)(e^x - 2)(e^x - 3)}{e^x}
$}
\end{center}
\item On a $\forall x \in \R, e^x >0$, on étudie donc les 3 autres expressions. 

\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
& e^{x} - 1 > 0 \\ 
\Longleftrightarrow & e^x > 1 \\
\Longleftrightarrow & x > 0 \\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
& e^{x} - 2 > 0 \\ 
\Longleftrightarrow & e^x > 2 \\
\Longleftrightarrow & x > \ln(2) \\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
& e^{x} - 3 > 0 \\ 
\Longleftrightarrow & e^x > 3 \\
\Longleftrightarrow & x > \ln(3) \\
\end{align*}
\end{minipage}

On dresse le tableau de signe de $2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $e^x - 1$/1, Signe de $e^x - 2$/1, Signe de $e^x - 3$/1, Signe de $2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}$/2}{$- \infty$,0,$\ln(2)$,$\ln(3)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+ }
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+ }
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+ }
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+ }
%\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/1, +/$+\infty$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection*{\'Etude d'une fonction}
On pose $v :x \to e^{2x} - 12 e^x +22x + 12 e^{-x}$ et $h : x \to \dfrac{1}{v(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etude de $v$. 
\begin{enumerate}
\item On calcule 
\begin{align*}
v(\ln(2)) & = e^{2\ln(2)} - 12 e^{\ln(2)} +22\ln(2) + 12 e^{-\ln(2)} \\
& = 2^2 - 24 + 22 \ln(2) + 6 \\
& = 22 \ln(2) - 14 
\end{align*} 
\begin{align*}
v(\ln(3)) & = e^{2\ln(3)} - 12 e^{\ln(3)} +22\ln(3) + 12 e^{-\ln(3)} \\
& =  3^2 - 36 + 22 \ln(3) + 4 \\
& = 22 \ln(3) - 23 
\end{align*} 
\begin{center}
\fbox{On a donc $v(\ln(2) = 22 \ln(2) - 14 $ et $v(\ln(3)) = 22 \ln(3) - 23 $. }
\end{center}
\item On a 
\begin{align*}
v(x) & = e^{2x} \left( 1 - 12 \dfrac{e^x}{e^{2x}} + 22 \dfrac{x}{e^{2x}} + 12 \dfrac{e^{-x}}{e^{2x}} \right)\\
& = e^{2x} \left( 1 - 12 e^{-x} + 22 \dfrac{x}{e^{2x}} + 12 e^{-3x} \right)
\end{align*}
Or $\li_{x \to + \infty} e^{-x} = \li_{x \to + \infty} e^{-3x} = 0$ et $\li_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{2x}} = 0$ par croissance comparées. Enfin, \\
$\li_{x \to + \infty} e^{2x} = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to +\infty} v(x) = + \infty $}
\end{center}
On a également 
\begin{align*}
v(x) & = e^{-x} \left(\dfrac{e^{2x}}{e^{-x}} - 12 \dfrac{e^x}{e^{-x}} + 22 \dfrac{x}{e^{-x}} + 12 \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}} \right)\\
& = e^{-x} \left( e^x - 12 e^{2x} + 22 xe^x + 12 \right)
\end{align*}
Or $\li_{x \to - \infty} e^{x} = \li_{x \to  \infty} e^{2x} = 0$ et $\li_{x \to - \infty} xe^x = 0$ par croissance comparées. Enfin, \\
$\li_{x \to - \infty} e^{-x} = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to -\infty} v(x) = + \infty $}
\end{center}
\item La fonction $v$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur $\R$ et 
$$
\forall x \in \R, \quad v'(x) = 2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}
$$
En utilisant les questions précédentes et $v(0) = 1$, on trace le tableau de variation 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $v'(x)$/1, Variations de $v$/2}{$- \infty$,0,$\ln(2)$,$\ln(3)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+ }
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/1,+/$\approx 1.25$,-/$\approx 1.17$,+/$+\infty$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\item D'après le tableau de variation précédent, \begin{center}
\fbox{ $\forall x \in \R$, $v(x) > 0$.  }
\end{center}
\end{enumerate}
\item Comme pour tout réel $x$, $v(x) >0$,
\begin{center}
 \fbox{Le domaine de définition de $h$ est $\R$.}
 \end{center} 
\item La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de la fonction $v$ (qui ne s'annule pas). On a alors
$$
\forall x \in \R, \quad h'(x) = - \dfrac{v'(x)}{v^2(x)}
$$
Comme $v^2(x)$ est strictement positif, la dérivée de $h$ est du signe contraire de la dérivée de $v$. 
Enfin, on a 
$$
\li_{x \to +\infty} h(x) = \li_{x \to + \infty} \dfrac{1}{v(x)} = 0 , \qquad {\rm et} \qquad \li_{x \to -\infty} h(x) = \li_{x \to - \infty} \dfrac{1}{v(x)} = 0 
$$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $v'(x)$/1,Signe de $h'(x)$/1, Variations de $h$/2}{$- \infty$,0,$\ln(2)$,$\ln(3)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+ }
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,- }
\tkzTabVar{-/$0$,+/1,-/$\approx 0.80$,+/$\approx 0.86$,-/$0$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - Obligatoire pour les groupes 2 à 11}
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in \mathbb{R}$. L'expression $f(x)$ existe si et seulement si $x^2-4 \neq 0$, c'est-à-dire si et seulement si $x \neq 2$ ou $-2$.
\vspace{0.3cm}
\noindent \fbox{Conclusion : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \lbrace -2,2 \rbrace \cdot$}
\item 
\begin{itemize}
\item L'ensemble de définition de $f$ est symétrique par rapport à zéro : si $x \neq -2$ ou $x \neq 2$, il en est de même pour $-x$.
\item Soit $x \in \mathcal{D}_f$. On a :
\[ f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}=f(x) \]
\end{itemize}
\noindent \fbox{Conclusion : $f$ est paire.}
\item 
\begin{verbatim}
function y=f(x)
	y=x^2/(x^2-4);
endfunction

x=2.01:0.01:10;
y=feval(x,f);
plot(x,y);
\end{verbatim}
\noindent Attention au fait que $f$ n'est pas définie en $x=2$ : c'est pour cela que la première abscisse calculée dans le programme précédent est $2.01$.
\item Soit $x \in ]2, + \infty[$. Raisonnons par équivalences :
\[ \begin{array}{ccl}
\dis f(x)>1 &  \Longleftrightarrow &  \dis \frac{x^2}{x^2-4} > 1 \\[0.3cm]
&  \Longleftrightarrow  & \dis \frac{x^2}{x^2-4} -1  > 0 \\[0.3cm]
& \Longleftrightarrow & \dis \frac{x^2-(x^2-4)}{x^2-4} > 0 \\[0.3cm]
& \Longleftrightarrow & \dis \frac{4}{x^2-4} > 0 \\
\end{array}\]
Cette dernière inégalité est clairement vraie donc la première l'est aussi.
\noindent \begin{center}
\fbox{Conclusion : pour tout réel $x>2$, $f(x)>1$.}
\end{center}
\item Soit $y \in ]1, + \infty[$. Résolvons l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x \in ]2, + \infty[$ :
\[ \begin{array}{ccll}
f(x)=y & \Longleftrightarrow & \dis \frac{x^2}{x^2-4} = y& \\[0.3cm]
& \Longleftrightarrow & x^2 = y(x^2-4) &\\
& \Longleftrightarrow & x^2 = yx^2-4y &\\
&  \Longleftrightarrow & x^2-yx^2 = -4y &  \\
& \Longleftrightarrow & x^2(1-y) = -4y & \\
& \Longleftrightarrow & \dis  x^2 = \frac{-4y}{1-y} = \frac{4y}{y-1} &  (y \neq 1) \\[0.3cm]
& \Longleftrightarrow &\dis  x = \sqrt{\frac{4y}{y-1}} & \hbox{car } x>0 \\
\end{array}\]
Vérifions que $x \in ]2, + \infty[$ en raisonnons par équivalences :
\[\begin{array}{ccll}
\dis \sqrt{\frac{4y}{y-1}} > 2 & \Longleftrightarrow & \dis \frac{4y}{y-1} > 4& \hbox{(stricte croissance de } x \mapsto \sqrt{x} \hbox{ sur }\mathbb{R}_+) \\[0.3cm]
& \Longleftrightarrow &  4y> 4(y-1) & (y-1>0)   \\
& \Longleftrightarrow&  0> - 4  \\
\end{array}\]
La dernière inégalité étant vraie, la première l'est aussi.

\vspace{0.3cm}

\noindent Pour tout $y \in ]1, + \infty[$, l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x \in ]2, + \infty[$ admet une unique solution définie par :
\[ x = \sqrt{\frac{4y}{y-1}} \]

\vspace{0.3cm}

\noindent \fbox{Conclusion : $f$ est bijective de $]2, + \infty[$ sur $]1, + \infty[$ et on a  $\dis \begin{array}{ccrcl}
f^{-1} & : & ]1, + \infty[  & \longrightarrow & ]2, + \infty[\\
& & y & \longmapsto & \dis \sqrt{\frac{4y}{y-1}}\\
\end{array}$}
\end{enumerate}

\section*{Exercice III - Obligatoire pour les groupes 1 à 5}

On définit pour tout entier naturel $n$ non nul, le polynôme $P_n$ par :
$P_0(X) = 2$ et $\forall n  \in \N$,
\begin{equation}
P_{n+1}(X) = X^3 P_n'(X) + (2 - 3{\color{red} (n+1)} X^2) P_n (X)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item \'Etude des polynomes
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $n \in \N$, 
\begin{align*}
P_{n+1}(0) & = 0 + (2 -0) P_n(0) = 2 P_n(0)
\end{align*}
La suite $(P_n(0))_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $2$. On a alors
\begin{center}
\fbox{ $\forall n \in \N$, $P_n(0) = 2 \times 2^n = 2^{n+1} $}
\end{center}
\item On a $P_0'(X) = 0$ et donc 
\begin{align*}
P_1(X) & = X^3 \times P_0'(X) + (2-3X^2) P_0(X) \\
& = 2 \times (2 - 3X^2)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{$P_1(X) = 4 - 6X^2$.}
\end{center}
En utilisant la méthode du discriminant, ou par calcul direct, on obtient,
\begin{center}
\fbox{Les racines de $P_1$ sont $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$  et $- \sqrt{\dfrac{2}{3}}$. }
\end{center}
\item On a $P_1'(X)  = -12 X$ et donc 
\begin{align*}
P_2(X)& = X^3 P_1'(X) + (2 - 6X^2)P_1(X) \\
& = -12 X^4 + (2 - 6X^2)(4-6X^2) \\
& = -12X^4 + 8 -12X^2 -24X^2 +36X^4 \\
& = 24 X^4 -36X^2 +8
\end{align*}

Afin de déterminer ses racines, on va poser $Y = X^2$, On a
$$
24X^4 - 36 X^2 + 8 = 4(6Y^2 -9Y + 2) 
$$ 
On étudie les racines de $6Y^2 - 9Y +2$. Le discriminant est $\Delta = 81 - 48 = 33$ et donc les racines sont 
$$
Y_1 = \dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}, \qquad Y_2 = \dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}
$$
Comme $9 - \sqrt{33} > 0$, on a quatre racines pour $P_2$, 
\begin{center}
\fbox{$\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}, \quad -\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}, \quad \sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}}$ et $-\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}}$}
\end{center} 
\item On montre les propriétés suivantes $\mathscr{P}_n : \left\{  \P_n \; \text{est de degré} \; 2n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $P_0$ est de degré $0$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\mathscr{P}_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $\P_n$ un polynôme de degré $2n$.
	\begin{itemize}
	\item $P_n'$ est de degré $2n-1$ et donc $X^3 P_n'$ est de degré $2n+2$.
	\item $P_n$ est de degré $2n$ et $(2-3(n+1)X^2)$ est de degré $2$ donc $(2-3(n+1)X^2)P_n(X)$ est de degré $2n+2$
	\end{itemize}
	$P_{n+1}$ étant la somme de deux polynôme de degré $2n+2$, c'est un polynôme de degré au moins $2n+2$. On s'intéresse à son coefficient dominant. Si on note $a_n$ le coefficient dominant du polynôme $\P_n$ alors 
	$$a_{n+1} = 2n a_n - 3(n+1) a_n = -(n+3)a_n \neq 0$$

	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, Le polynôme $\P_n$ est de degré $2n$. }\\
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}$
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables
\begin{align*}
\forall x \in \R^*, \quad f'(x) &=  \dfrac{-6}{x^4} e^{-1/x^2} + \dfrac{2}{x^3} \times \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}. \\
& = \dfrac{-6x^2 + 4}{x^6}e^{-1/x^2}
\end{align*}
De même, $f'$ est dérivable en tant que produit, composée et quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$. 
\begin{align*}
\forall x \in \R^*, \quad f''(x) &=  \dfrac{-12x \times x^6 -6x^5(-6x^2 + 4)}{x^{12}} e^{-1/x^2} + \dfrac{-6x^2 + 4}{x^6} \times \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}. \\
&=  \dfrac{-12 x^4 -6x^2(-6x^2 + 4)}{x^{9}} e^{-1/x^2} + \dfrac{-12x^2 + 8}{x^9} e^{-1/x^2}. \\
&=  \dfrac{-12 x^4 +36x^4 - 24x^2 -12x^2 + 8)}{x^{9}} e^{-1/x^2}  \\
& = \dfrac{24x^4 -36x^2 + 8}{x^9}e^{-1/x^2}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a finalement $
f'(x) = \dfrac{P_1(x)}{x^6} e^{-1/x^2} \quad {\rm et} \quad f''(x) = \dfrac{P_2(x)}{x^9} e^{-1/x^2}
$}
\end{center}
\item On calcule les limites,
$$\li_{x \to \pm \infty} \dfrac{2}{x^3} = 0 \quad \text{et} \quad \li_{x \to \pm \infty} e^{-1/x^2} = 0 \quad \text{donc} \quad \li_{x \to \pm \infty} f(x) = 0
$$
$$
\li_{x \to 0} f(x) = \li_{y \to + \infty} 2 y^{3/2}e^{-y} = 0 \quad \text{(par croissance comparée)} 
$$
D'après les questions précédentes, on déduit
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,espcl=3]{$x$/1.5, Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,$- \sqrt{\dfrac{2}{3}}$,$0$,$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,+,z,- }
\tkzTabVar{+/$0$,-/$-2\left( \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{3} e^{-3/2}$,+D-/0 /0,+/$2\left( \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{3} e^{-3/2}$,-/0}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}  
\item On détermine la convexité en regardant le signe de $f''$. D'après la question 1.c
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=2]{$x$/1.5, Signe de $f''(x)$/1}{$- \infty$,$-\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}$,$-\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}} $, $0$,$\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}}$,$\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,d,+,z,-,z,+, }
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
La fonction est donc convexe sur $\left]- \infty, -\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}} \right[$, sur $\left] -\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}} , 0\right[$, sur $\left]0, \sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}} \right[$ et sur $\left] \sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}} , +\infty \right[$. Elle est concave sur les autres intervalles.

\item On conjecture 
\begin{center}
 \fbox{ $\forall x \in \R^*, \;f^{(n)}(x) = \dfrac{P_n(x)}{x^{3(n+1)}}e^{-1/x^2}$.}
 \end{center} 
\item On montre les propriétés suivantes $\mathscr{P}_n : \left\{ \forall x \in \R^*, \;f^{(n)}(x) = \dfrac{P_n(x)}{x^{3(n+1)}}e^{-1/x^2} \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $f^{(0)} = f$ et $\forall x \in \R^*, f(x) = \dfrac{P_0(x)}{x^{3(0+1)}} e^{-1/x^2}$  donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\mathscr{P}_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc la formule pour la dérivée $n$ème de $f$. $f^{(n)}$ est alors dérivable en tant que composée, produit et quotient de fonctions dérivables et 
	\begin{align*}
	\forall x \in \R^*, f^{(n+1)} (x) & = \dfrac{P_n'(x) x^{3(n+1)} - 3(n+1)x^{3n+2} P_n(x)}{x^{6n + 6}} e^{-1/x^2} + \dfrac{P_n(x)}{x^{3n+3}} \times \dfrac{2}{x^3}e^{-1/x^2} \\
	&\text{\it On simplifie le premier quotient par $x^{3n}$} \\
	& = \dfrac{P_n'(x) x^3 - 3(n+1)x^2 P_n(x) + 2P_n(x)}{x^{3n+6}} e^{-1/x^2}\\
	& = \dfrac{P_{n+1}(x)}{x^{3(n+2)}}e^{-1/x^2}
	\end{align*}
	La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 

	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$,  $\forall x \in \R^*, \;f^{(n)}(x) = \dfrac{P_n(x)}{x^{3(n+1)}}e^{-1/x^2}$. }\\
	\end{itemize} 
\end{enumerate}
\item En scilab, un polynôme peut être modélisé par une matrice ligne ne comportant que les coefficients du polynôme. Ainsi la matrice $[2,3,5]$ correspondra au polynôme $P(X) = 2 + 3X + 5 X^2$.
\begin{enumerate}
\item La matrice $[1,0,2,4]$ correspond au polynôme \fbox{$1 + 2X^2 + 4X^3$}
\item La matrice correspondant à \fbox{$P_1(X)$ est $[4,0,-6]$}. \\
La matrice correspondant à \fbox{$P_2(X)$ est $[8,0,-36,0,24]$}. 
\item La matrice sera de \fbox{taille $n+1$}
\item Compléter la fonction suivante qui pour un polynôme quelconque, permet d'obtenir le polynôme dérivée :
\begin{verbatim}
function Q = derive(P)
    n = size(P) \\permet d'obtenir la taille de la matrice P
    if n == 1
        Q = [.0.]
    else 
        Q = zeros(1,.n-1.)
        for k = 1 : .n-1.
            Q(k) = .k*P(k+1).
        end
    end
endfunction
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Exercice IV - Obligatoire pour le groupe 1}


On d\'{e}signe par $n$ un entier naturel non nul et l'on se propose
d'\'{e}tudier les racines positives de l'\'{e}quation $e^{x}=x^{n}$que l'on
note $(E_{n}).$ A cet effet on introduit la fonction $f_{n}$d\'{e}finie par 
\[
f_{n}(x)=1-x^{n}e^{-x}. 
\]

On a donc pour tout entier $n,$ $\left( E_{n}\right) \Leftrightarrow
f_{n}\left( x\right) =0$

\begin{enumerate}
\item  Etude des racines positives des \'{e}quations $\left( E_{1}\right) $
et $\left( E_{2}\right) $

\begin{enumerate}
\item  On \'{e}tudie les variations de $f_1$. On a 
$$
f_{1}\left( x\right) =1-xe^{-x}.
$$ 
La fonction $f_{1}$ est de classe $%
C^{1}$ sur $[0;+\infty[$. On calcule alors
$$
\forall x  \in [0;+\infty[, f_1'(x) = -e^{-x} + xe^{-x} = (x-1)e^{-x}
$$
On calcule la limite de la fonction $f_1$ en $+ \infty$.
$$
\li_{x \to + \infty} 1 - xe^{-x} = 1
$$
par croissance comparée. 

La courbe repr\'{e}sentative de $f$ a donc une asymptote horizontale en $%
+\infty $

On a donc le tableau de variation 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f_1'(x)$/1, Variations de $f_1$/2}{0,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/1,-/$\frac{e-1}{e}$,+/$1$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

On a 
$$
f_{2}\left( x\right) =1-x^{2}e^{-x}.
$$ 
La fonction $f_{2}$ est de classe $%
C^{1 }$ sur $[0;+\infty[$. On calcule alors
$$
\forall x  \in [0;+\infty[, f_2'(x) = =-2xe^{-x}+x^{2}e^{-x}=x\left( x-2\right) e^{-x}
$$

On calcule la limite de la fonction $f_1$ en $+ \infty$.
$$
\li_{x \to + \infty} 1 - x^2e^{-x} = 1
$$
par croissance comparée. 

La courbe repr\'{e}sentative de $f_{2}$ a donc une asymptote horizontale en $%
+\infty $
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f_2'(x)$/1, Variations de $f_2$/2}{0,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{z,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/1,-/$1- \frac{4}{e^2}$,+/$1$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

Sur la courbe repr\'{e}sentative de $f_{1}$, on place l'asymptote
d'\'{e}quation $y=1$ en $+\infty ,$ la tangente horizontale en $1$ et la
tangente de pente $-1$ en 0.

Sur la courbe repr\'{e}sentative de $f_{2}$, on place l'asymptote
d'\'{e}quation $y=1$ en $+\infty ,$ la tangente horizontale en $1$ et en 0

\item  $\left( E_{1}\right) \Leftrightarrow f_{1}\left( x\right) =0.$ Or le
minimum de $f_{1}$ est $\displaystyle
\frac{e-1}{e}>0$ et l'\'{e}quation n'a pas de solution positive

De m\^{e}me $\left( E_{2}\right) \Leftrightarrow f_{2}\left( x\right) =0.$
Or le minimum de $f_{2}$ est $\displaystyle
\frac{e^{2}-4}{e^{2}}>0$ car $e>2$ donc $e^{2}>4$ (car la fonction carr\'{e}
est strictement croisante sur $\Bbb{R}^{+}$ et que me et $4$ en sont
\'{e}l\'{e}ments ).et l'\'{e}quation $\left( E_{2}\right) $ n'a pas de
solution positive.

\item Le programme scilab s'écrit
\begin{verbatim}
function y = f(x,n)
    y = 1 - x.^n .* exp(-x)
endfunction

X = 0:0.01:5
plot2d(X,f(X,1))
plot2d(X,f(X,2))
\end{verbatim} 
\end{enumerate}

\newpage 
\item  Etude des racines positives de l'\'{e}quations $\left( E_{3}\right) $

\begin{enumerate}
\item  
On a 
$$
f_{3}\left( x\right) =1-x^{3}e^{-x}.
$$ 
La fonction $f_{3}$ est de classe $%
C^{1 }$ sur $[0;+\infty[$. On calcule alors
$$
\forall x  \in [0;+\infty[, f_3'(x) = -3x^{2}e^{-x}+x^{3}e^{-x}=x^{2}\left( x-3\right) e^{-x}
$$

On calcule la limite de la fonction $f_1$ en $+ \infty$.
$$
\li_{x \to + \infty} 1 - x^3e^{-x} = 1
$$
par croissance comparée. 

La courbe repr\'{e}sentative de $f_{3}$ a donc une asymptote horizontale en $%
+\infty $

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f_3'(x)$/1, Variations de $f_3$/2}{0,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/1,-/$1- \frac{27}{e^3}$,+/$1$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 


Cette fois, comme $e^{3}<27$ alors $27/e^{3}>1$ et $\displaystyle
1-\frac{27}{e^{3}}<0.$

On a $f_{3}\left( 2\right) =1-8/e^{2}>0$ donc $f_{3}$ est strictement
positive sur $\left[ 0,2\right] $

Comme $f_{3}$ est continue et strictement d\'{e}croissante, elle est
bijective de $\left] 2,3\right[ $ dans $\left] 1-\frac{27}{e^{3}},1-\frac{8}{%
e^{2}}\right[ .$ Or $0$ appartient \`{a} cet intervalle donc l'\'{e}quation $%
\left( E_{3}\right) \Leftrightarrow f_{3}\left( x\right) =0$ a une unique
solution $u$ sur cet intervalle. ($2<u<3$)

De m\^{e}me comme $f_{3}\left( 4\right) =1-4^{3}/e^{4}<0$ et $f_{3}\left(
5\right) =1-5^{3}/e^{5}>0$, $\left( E_{3}\right) $ a une unique solution $v$
sur l'intervalle $\left] 4,5\right[ $ et n'en a aucune sur $\left[
3,4\right] $ ni sur $\left[ 5,+\infty \right[ $

Donc l'\'{e}quation $\left( E_{3}\right) $ admet deux racines positives $u$
et $v$ telles que$1<$ $2<u<3<4<v<5$

\item  Soit la suite d\'{e}finie par la relation $y_{n+1}=3\ln (y_{n})$ et
la condition initiale $y_{0},$o\`{u} $y_{0}$ est un nombre r\'{e}el
strictement sup\'{e}rieur \`{a} $u.$

\begin{itemize}
\item  $u<y_{0}\le v$, alors par r\'{e}curernce :

soit $n\in \Bbb{N}$ tel que $u<y_{n}\le v$ comme ln est strictement
croissante sur $\left] 0,+\infty \right[ $ alors $3\ln \left( u\right) <3\ln
\left( y_{n}\right) \le 3\ln \left( v\right) $

Et comme $u$ et $v$ $sont$ soutions de $x^{3}=e^{x}\Leftrightarrow 3\ln
\left( x\right) =x$ alors on a $3\ln \left( u\right) =u$ et $3\ln \left(
v\right) =v$

Donc $u<y_{n+1}\le v$

Et la propri\'{e}t\'{e} estvraie pour tout entier $n.$

\item  De m\^{e}me par r\'{e}currence si $v\le y_{0}$, alors pour tout
entier naturel $n,\;v\le y_{n}$.

\item  Signe ?

$y_{n}-y_{n-1}>0\Leftrightarrow y_{n}>y_{n-1}\Leftrightarrow 3\ln \left(
y_{n}\right) >3\ln \left( y_{n-1}\right) $ car la fonction $\ln $ est
strictement croissante sur $\left] 0,+\infty \right[ $ et que $y_{n-1}$ et $%
y_{n}$ en sont \'{e}l\'{e}ments; et finalement $y_{n}-y_{n-1}>0%
\Leftrightarrow y_{+1}-y_{n}>0.$

De m\^{e}me pour =0 et pour $<0;$ Donc $y_{n+1}-y_{n}$ est du m\^{e}me signe
que $y_{n}-y_{n-1}$ et par r\'{e}currence du m\^{e}me signe que $y_{1}-y_{0}$
\end{itemize}

Donc si $y_{0}<y_{1}$ alors pour tout entier $n$, $y_{n}<y_{n+1}$ et si $%
y_{0}>y_{1}$ alors pour tout entier $n$, $y_{n}>y_{n+1}$

\begin{itemize}
\item  Or pour $u<y_{0}\le v$ on a, d'apr\`{e}s les variations de$%
f_{0}:f_{3}\left( y_{0}\right) \le 0$ donc $\displaystyle
1-y_{0}^{3}e^{-y_{0}}\le 0$ donc $\displaystyle
e^{y_{0}}<y_{0}^{3}$ et comme $\ln $ est strictement croissante sur $\left]
0,+\infty \right[ $ alors $y_{0}\le 3\ln \left( y_{0}\right) $ et $y_{0}\le
y_{1}.$

Donc si $u<y_{0}\le v$ alors pour tout entier $n:y_{n}\le y_{n+1}$ et la
suite sera donc croissante.

\item  De m\^{e}me si $y_{0}\ge v$ alors $f_{3}\left( y_{0}\right) \ge 0$ et
la suite sera d\'{e}croissante
\end{itemize}

\end{enumerate}

\item  \'Etude des racines positives de l'\'{e}quation $\left( E_{n}\right) $
pour $n\ge 3$.

\begin{enumerate}
\item  On a 
$$
f_{n}\left( x\right) =1-x^{n}e^{-x}.
$$ 
La fonction $f_{n}$ est de classe $%
C^{1 }$ sur $[0;+\infty[$. On calcule alors
$$
\forall x  \in [0;+\infty[, \quad f_n'(x) = -nx^{n-1}e^{-x}+x^{n}e^{-x}=x^{n}\left( x-n\right) e^{-x}
$$

On calcule la limite de la fonction $f_n$ en $+ \infty$.
$$
\li_{x \to + \infty} 1 - x^ne^{-x} = 1
$$
par croissance comparée. 

La courbe repr\'{e}sentative de $f_{n}$ a donc une asymptote horizontale en $%
+\infty $

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f_3'(x)$/1, Variations de $f_3$/2}{0,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/1,-/$1- \frac{n^n}{e^n}$,+/$1$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

Cette fois, comme $n\ge 3>e$ alors $\left( n/e\right) >1$ et $\left(
n/e\right) ^{n}>1^{n}$ car $n>0$ et la fonction puissance $n$ est donc
strictement croissante sur $\Bbb{R}^{+}$

Donc $f_{n}\left( n\right) <0.$

Comme $\displaystyle
f_{n}\left( 1\right) =1-\frac{1}{e}>0,\;f_{n}>0$ sur $\left[ 0,1\right] $ et 
$\left( E_{n}\right) $ n'a pas de solution.

Sur $\left] 1,n\right[ $, la fonction $f_{n}$ est continue et strictement
d\'{e}croissante. Elle est donc bijective de $\left] 1,n\right[ $ dans $%
\left] \lim_{n}f_{n};\lim_{1}f_{n}\right[ .$

et comme $0\in \left] f_{n}\left( n\right) ;1-\frac{1}{e}\right[ $
l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =0\Leftrightarrow \left( E_{n}\right) $
a une unique solution $u_{n}$ sur $\left] 1,n\right[ .$

De m\^{e}me sur l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =0\Leftrightarrow
\left( E_{n}\right) $ a une unique solution $v_{n}$.

Donc l'\'{e}quation $\left( E_{n}\right) $ admet deux racines positives $%
u_{n}$ et $v_{n}$ telles que $1<u_{n}<n<v_{n}$.

\item  Pour d\'{e}terminer le signe de $f_{n}(u_{n-1}),$ on fait intervenir $%
f_{n-1}\left( u_{n-1}\right) =0$ pour $n-1\ge 3$ donc $n\ge 4:$%
\begin{eqnarray*}
f_{n-1}(u_{n-1})=1-\left( u_{n-1}\right) ^{n-1}e^{-u_{n-1}}=0 \\
f_{n}(u_{n-1})=1-\left( u_{n-1}\right) ^{n}e^{-u_{n-1}} \\
f_{n}(u_{n-1})=f_{n}(u_{n-1})-f_{n-1}(u_{n-1}) \\
=\left( u_{n-1}\right) ^{n-1}e^{-u_{n-1}}-\left( u_{n-1}\right)
^{n}e^{-u_{n-1}} \\
=\left( u_{n-1}\right) ^{n-1}e^{-u_{n-1}}\left( 1-u_{n-1}\right) <0
\end{eqnarray*}

car $1<u_{n-1}.$ Donc pour tout entier $n\ge 4$ on a : $f_{n}\left(
u_{n-1}\right) <0$

On a donc $f_{n}\left( u_{n-1}\right) <0=f_{n}\left( u_{n}\right) $

Et comme $f_{n}$ est strictement d\'{e}croissante sur $\left[ 0,n\right] $
et que $u_{n}$ et $u_{n-1}$ ($\le n-1$ ) en sont \'{e}l\'{e}ments alors $%
u_{n-1}>u_{n}$

La suite $u$ est donc d\'{e}croissante et minor\'{e}e par $1.$ Elle est donc
convergente. Soit $L$ sa limite.

\item  On a $n\ln \left( u_{n}\right) =u_{n}$ donc $\ln \left( u_{n}\right)
=u_{n}/n$ et $u_{n}=\exp \left( u_{n}/n\right) $.

Donc $\li_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 0$ et donc $\li_{n \to + \infty} exp \left( u_{n}/n\right) = 1$. 

\begin{center}
\fbox{Finalement $\li_{n \to + \infty} u_n = 1$. 
}
\end{center}

\item  On a comme pour $u_{n}$ 
\begin{eqnarray*}
f_{n-1}\left( v_{n}\right) =f_{n-1}\left( v_{n}\right) -f_{n}\left(
v_{n}\right)  \\
=\left( v_{n}\right) ^{n}e^{-v_{n}}-\left( v_{n}\right) ^{n-1}e^{-v_{n}} \\
=\left( v_{n}\right) ^{n-1}e^{-v_{n}}\left( v_{n}-1\right) >0
\end{eqnarray*}

Donc $f_{n-1}\left( v_{n-1}\right) =0<f_{n-1}\left( v_{n}\right) .$ Et comme 
$f_{n-1}$ est strictement croissante sur $\left[ n-1,+\infty \right[ $ et
que $v_{n}$ ($\ge n\ge n-1$ ) et $v_{n-1}$en sont \'{e}l\'{e}ments alors $%
v_{n-1}<v_{n}.$

La suite $v$ est donc croissante

\item  On pose pour tout r\'{e}el $x>1:g\left( x\right) =x-\ln \left(
x\right) .$ $g$ est d\'{e}rivable sur $]0,+\infty [$%
\begin{eqnarray*}
g^{\prime }\left( x\right) =1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x} \\
g\left( 1\right) =0
\end{eqnarray*}

Comme $g$ est strictement croissante et continue sur $\left] 1,+\infty
\right[ $ alors $g$ r\'{e}alise une bijection de $\left] 1,+\infty \right[ $
sur $g(\left] 1;+ \infty \right[) =\left] 1,+\infty \right[ $

Elle a donc une r\'{e}ciproque.

On a $\left( v_{n}\right) ^{n}=\displaystyle
e^{v_{n}}$ donc en \'{e}levant \`{a} la puissance $1/n:v_{n}=e^{v_{n}/n}$ 
\begin{eqnarray*}
g\left( v_{n}/n\right) =\frac{v_{n}}{n}-\ln \left( \frac{v_{n}}{n}\right) =%
\frac{v_{n}}{n}-\ln \left( \frac{e^{v_{n}/n}}{n}\right) =\frac{v_{n}}{n}-\ln
\left( e^{v_{n}/n}\right) +\ln \left( n\right)  \\
=\frac{v_{n}}{n}-v+\ln \left( n\right) =\ln \left( n\right) 
\end{eqnarray*}
Comme $v_{n}/n\in $ $\left] 1,+\infty \right[ $ ( car $v_{n}>n$ ) et que $%
\ln \left( n\right) \in \left] 1,+\infty \right[ $ (car $n>e$ ) alors 
\[
g\left( v_{n}/n\right) =\ln \left( n\right) \Leftrightarrow \frac{v_{n}}{n}%
=g^{-1}\left( \ln \left( n\right) \right) 
\]

Or, comme $y=g\left( x\right) \rightarrow +\infty $ quand $x\rightarrow
+\infty $ alors, par sym\'{e}trie, $x=g^{-1}\left( y\right) \rightarrow
+\infty $ quand $y\rightarrow +\infty .$

Donc $\li_{n \to +\infty} g^{-1}\left( \ln \left( n\right) \right) = +\infty $ et donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{n \to + \infty} v_{n} = \li_{n \to + \infty} n g^{-1}\left( \ln \left( n\right) \right)  = + \infty .$}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}